МГУ имени М.В.Ломоносова
Физический факультет

Теоретико-групповые и алгебраические методы современной квантовой теории поля

Проф. А.П.Исаев

Считается общепризнанным, что для описания физики элементарных частиц следует использовать хорошо разработанный, в рамках теории возмущений, аппарат квантовой теории поля. Теория квантованных полей создавалась в основном в процессе построения квантовой электродинамики - полевой теории, описывающей электромагнитные взаимодействия и обладающей т.н. абелевой калибровочной симметрией. Современные полевые модели, объединяющие слабые, электромагнитные и сильные взаимодействия элементарных частиц, основываются на фундаментальном принципе неабелевой калибровочной инвариантности, которая обобщает абелеву симметрию. Соответствующие квантово-полевые модели, включая калибровочные модели со спонтанным нарушением симметрии (механизм Хиггса), достаточно хорошо изучены. Подчеркнем, что именно неабелева калибровочная симметрия ответственна за перенормируемость этих моделей (в случае моделей со спонтанным нарушением симметрии перенормируемость была доказана Г.'т Хоофтом, Нобелевская премия по физике за 1999 год), а в теории сильных взаимодействий (модель квантовой хромодинамики) приводит к асимптотической свободе кварков и глюонов (Д.Гросс, Ф.Вильчек и Д.Политцер, Нобелевская премия по физике за 2004 год).

С экспериментальной точки зрения, калибровочная симметрия проявляется в существовании элементарных частиц со спином 1 (калибровочных векторных бозонов -- переносчиков соответствующих взаимодействий) - фотона, в случае абелевой электродинамики и W± и Z бозонов в случае неабелевой теории слабых взаимодействий. W± и Z бозоны были открыты в 1983 году (К.Руббиа и С.ван дер Меер, Нобелевская премия по физике за 1984 год).

Почти одновременно с началом бурного развития теорий неабелевых калибровочных полей был открыт качественно новый тип симметрии (суперсимметрия), преобразования которой "перемешивают" бозонные и фермионные степени свободы. В настоящее время считается, что именно суперсимметрия управляет "супер-объединением" всех существующих в природе взаимодействий (слабых, электромагнитных, сильных и гравитационных), т.к. только в рамках суперсимметричных полевых моделей удается построить самосогласованные перенормируемые квантово-полевые теории, включающие теорию гравитации. Замечательно, что такие полевые модели, во-первых, предсказывают 10-мерность нашего пространства-времени (наш повседневный опыт говорит нам о том, что наше пространство-время - 4-х мерно, остальные 6 измерений свернуты в столь маленькие пространства, что могут наблюдаться только при очень высоких энергиях), а, во-вторых, эти модели возникают как специальные пределы более фундаментальных моделей фермионных струн и суперструн (а возможно и супер-мембран), обладающих еще более высокой степенью симметрии, связанной с бесконечномерными супералгебрами и супергруппами Ли.

Суперсимметрия, это новый тип симметрии, который в природе еще не обнаружен. С точки зрения эксперимента, суперсимметрия может проявиться в том, что у каждой известной нам элементарной частицы будет наблюдаться партнер, причем, как правило, не один. Например, у электрона должно быть два партнера, с таким же электрическим зарядом, но с более тяжелыми массами и другими спинами. Все остальные свойства будут такими же как у электрона, и т.д. В ближайшем будущем, на LHC (Большой адронный коллайдер) в CERN-е (Европейский центр ядерных исследований) планируются эксперименты по поиску возможных проявлений суперсимметрии.

Т.о., в современной физике элементарных частиц симметрия и инвариантность играет основополагающую роль, которая, например, сводится к ограничению числа приемлемых теорий, претендующих на описание реальных физических явлений.

Сравнительно недавно, при изучении интегрируемых квантовых систем, теорий струн, суперсимметричных обобщений неабелевых калибровочных теорий поля и при исследовании других моделей, были открыты принципиально новые симметрии, которые получили название "квантовых симметрий". Эти симметрии связаны с новыми алгебраическими структурами, которые называются "квантовыми группами". Квантовые группы и алгебры в некоторых случаях можно рассматривать как квантование (или, как говорят математики, деформацию), обычных групп и алгебр Ли (математически более корректно говорить о квантовании алгебры функций на группе Ли и квантовании универсальной обертывающей алгебры Ли). Данное квантование сопровождается введением дополнительного параметра q (параметра деформации), который играет роль, аналогичную роли постоянной Планка в квантовой механике. При q → 1 квантовые группы и алгебры переходят в стандартные группы и алгебры Ли, а квантовые симметрии - в обычные симметрии.

Были найдены и изучены примеры статистических и динамических систем с гамильтонианами, инвариантными относительно специального действия квантовых групп. Как выяснилось, квантовые симметрии приводят к наличию у этих моделей большого числа нетривиальных законов сохранения, что собственно и является признаком интегрируемости. Очевидно, что квантовые группы определяют принципиально новый класс симметрий - квантовых симметрий, обобщающих обычные симметрии и суперсимметрии, связанные с супералгебрами и супергруппами Ли. Замечательно, что, если калибровочная инвариантность и суперсимметрия ответственны за перенормируемость (или даже конечность) и самосогласованность соответствующих квантовополевых моделей, то квантовые симметрии приводят к их интегрируемости и точной решаемости, что позволяет исследовать такие модели вне рамок теории возмущений.

Оказывается, что исследование квантовых симметрий требует более глубокого понимания геометрии квантовых групп и, в частности, предполагает детальную разработку некоммутативной дифференциальной геометрии квантовых групп. Такие исследования проводятся в рамках бурно развивающегося направления в математике, которое называется некоммутативная геометрия. Об окончательном создании такой гео\-метрии говорить пока рано, хотя достаточно общая программа ее построения существует и была сформулирована известным французским математиком Аланом Конном. Некоторые аспекты некоммутативной дифференциальной геометрии исследовались в работе (A.P. Isaev, P. Pyatov, "Spectral extension of the quantum group cotangent bundle", Comm.Math.Phys., 288 (2009) 1137-1179).

Следует также упомянуть о некоммутативных деформациях групп Лоренца и Пуанкаре, которые приводят к построению квантовых версий пространства-времени Минковского. Отметим, что теории (супер)струн также предсказывают некоммутативность нашего пространства-времени и это предсказание стимулировало многочисленные построения и исследования теорий поля на таких некоммутативных пространствах. Интересно, что подобные новейшие исследования созвучны с довольно старыми идеями о существенном изменении структуры пространства-времени при сверх-высоких энергиях или, что тоже самое, на очень малых масштабах, порядка планковской длинны (1.6 ⋅ 10-33 см.). Такие энергии, а соответственно и столь малые структуры, по-видимому, могли реализовываться только на ранних стадиях развития Вселенной.

В заключении хочется отметить основную нерешенную проблему, стоящую перед современной теоретической физикой - это проблема построения КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ, а также включение этой теории в единую модель, описывающую все существующие взаимодействия в природе.