МГУ имени М.В.Ломоносова
Физический факультет

Петр Константинович Силаев

Эффект Казимира

В квантовой механике существует такое явление - "нулевые колебания". Оно возникает потому, что основное состояние квантового гармонического осциллятора не совсем похоже на основное состояние классического гармонического осциллятора. Для классического осциллятора основное состояние очевидное - он будет находиться в положении равновесия и иметь нулевую скорость. Для квантового осциллятора это невозможно, потому что координата и импульс квантовомеханической частицы не могут одновременно иметь определенных значений. Неопределенность координаты и неопределенность импульса связаны знаменитым соотношением Гайзенберга DpDx ≥ . Здесь Dx - дисперсия координаты, Dp - дисперсия импульса, а ℏ - постоянная Планка. Дисперсия тут понимается почти так же, как на физпрактикуме - Вы меряете координату x много раз, находите среднее ⟨x⟩, а потом находите Dx = ⟨(x - ⟨x⟩)2⟩. Разница в том, что в классике дисперсию можно победить, улучшая эксперимент и совершенствуя приборы, а вот в квантовой механике точного значения координаты нет в принципе, и улучшение прибора позволит только точнее измерить ⟨x⟩ и саму дисперсию, а уменьшить ее не получится. Поэтому у квантового осциллятора в основном состоянии могут равняться нулю только средние значения координаты и импульса ⟨x⟩ = 0, ⟨p⟩ = 0, а дисперсии в лучшем случае удовлетворяют равенству DpDx = . Но дисперсия импульса при ⟨p⟩ = 0 равна ⟨p2⟩, так что среднее значение кинетической энергии ⟨⟩ равно , аналогично для потенциальной: ⟨⟩ = . Как получить наименьшую среднюю энергию ⟨E⟩ = ⟨ + ⟩ = + ? Ясное дело, взяв минимальное (при данном Dx) значение дисперсии импульса Dp = , и найдя минимум средней энергии ⟨E⟩ = + по Dx. Тогда получим Dx = и ⟨E⟩ = . Это и есть энергия нулевых колебаний. Нулевые колебания будут в любом осцилляторе - и для заряда, пойманного в электромагнитную ловушку, и для колебательного контура с катушкой и конденсатором, и для стоячей электромагнитной волны, которая колеблется в резонаторе. Вот в последнем случае и получается эффект Казимира. Дело в том, что энергия нулевых колебаний зависит от коэффициента упругости пружинки, а роль коэффициента упругости для стоячей волны играет квадрат волнового числа. Но волновое число стоячей волны определяется расстоянием между стенками в резонаторе. Следовательно, энергия будет зависеть от расстояния, а когда энергия зависит от расстояния, то возникает сила. Итак, за счет энергии нулевых колебаний электромагнитного поля стенки резонатора могут притягиваться или отталкиваться. Это и называется эффектом Казимира. Сосчитать эту силу не так-то просто, потому что в каждом резонаторе живет бесконечно много гармоник с кратными частотами, и прямой подсчет энергии дает бесконечный ответ. Процедура выделения конечного ответа из этой бесконечности называется "перенормировка". Она является обычным делом в теории квантованных полей (кстати, Ферми называл эту процедуру "заметанием мусора под ковер").

Как ни странно, эффект Казимира был обнаружен экспериментально и является еще одним (помимо всех экспериментов в физике элементарных частиц) подтверждением квантовой теории поля. В последнее время внимение к эффекту Казимира расцвело пышным цветом, поскольку чем меньше объект (и чем меньше расстояние между объектами), тем большую роль играет эффект Казимира. А стремление работать с маленькими объектами сейчас встречается очень часто.