МГУ имени М.В.Ломоносова
Физический факультет

Дмитрий Владимирович Мещеряков

В настоящее время квантовая хромодинамика является общепринятой теорией сильных взаимодействий и в качестве таковой является предметом интенсивных исследований. Свойство асимптотической свободы, которым обладает КХД, делает обоснованным применение теории возмущений в области высоких энергий. Однако при низких энергиях и соответственно больших расстояниях ситуация диаметрально противоположна - бегущая константа связи велика и теория возмущений неприменима. Представляется очевидным, что единая самосогласованная теория сильных взаимодействий должна одинаково хорошо объяснять экспериментальные факты в области не только высоких, но и низких энергий. Поэтому исследование области низких энергий в сильных взаимодействиях вызывает устойчивый интерес.

К наиболее разработанным из различных непертурбативных методов относятся методы, основанные на свойствах унитарности и аналитичности амплитуды расеяния, которая тесно связана с причинностью.

В работах Н.Н.Боголюбова было показано, что возможность аналитического продолжения амплитуды рассеяния на всю комплексную плоскость энергетической перемененной обусловлено условием причинности, которое представляет собой физическую основу дисперсионных. соотношений. В свете этого представляется актуальным получение простых выражений для различных физических объектов физики низких энергий, основанных на таких фундаментальных свойствах амплитуды рассеяния. из наиболее привлекательных таких объектов является электромагнитный формфактор пи-мезона, для которого существует обширная экспериментальная информация в пространственно- и времениподобных областях.

Поэтому поиск подходящего аналитического выражения для электромагнитного формфактора пи-мезона, представляющее собой разумный компромисс между простотой описания и адекватностью воспроизводства имеющихся экспериментальных данных, является актуальной задачей. Такое аналитическое выражение может быть использовано в правилах сумм КХД для двухточечных функций векторных токов с целью получения физических характеристик резонансов.

Добавление к перечисленным выше свойствам амплитуд определенных предположений об их поведении в области высоких энергий позволяет получить различные правила сумм. Предложенная Вайнштейном, Захаровым и Шифманом процедура улучшения сходимости интегралов от отношений сечений различных процессов позволила получить глобальные правила сумм, связывающие область низких и высоких энергий.

К другому типу правил сумм приходят, вычисляя интегралы от мнимых частей амплитуд процессов с помощью дополнительных предположений. В качестве таких предположений часто используется описание амплитуды в виде суммы нескольких полюсов Редже. Полученные таким образом конечно-энергетические правила сумм обладают рядом преимуществ по сравнению с глобальными правилами сумм. В, обоих типах правил сумм естественным образом возникают вакуумные средние участвующих в теории полей - так называемые вакуумные конденсаты различных размерностей, которые имеют непертурбативную природу. Не будет преувеличением сказать, что без надежной информации об этих величинах построение самосогласованной теории сильных взаимодействий невозможно, так как без выяснения структуры вакуума теория не может считаться завершенной. Поэтому является актуальной задача определения вакуумных конденсатов и других низкоэнергетических параметров КХД, таких, как параметра натяжения струны и массы конституентного кварка. Использование для определения этих величин выражений, основанных на фундаментальных аналитических свойствах амплитуды рассеяния представляется разумным способом придания получаемым оценкам большей надежности и достоверности.

В рамках метода дисперсионных соотношений Мандельштамом было получено двойное спектральное представление, основанное на аналитических свойствах амплитуды по инвариантным переменным s, u, t, которые являются квадратами полных энергий в с.ц.м. для различных каналов рассеяния, описываемых четырехконцевыми диаграммами Фейнмана. Применение этого представления к пион-нуклонному рассеянию совместно с разложением по парциальным волнам позволяет получить уравнения для парциальных волн пион-нуклонного рассеяния. Однако в эти уравнения входят различные парциальные волны, и они слишком сложны для решения. Поэтому для практических целей обычно используют различные приближения, допускающие точные решения. Одним из таких приближений являются статические уравнения для пион-нуклонного рассеяния при низких энергиях. Эти уравнения могут быть сведены к нелинейной краевой задаче. Представляется актуальным нахождение решений краевых задач такого типа. Помимо самостоятельного интереса, получающиеся результаты могут быть применены для получения оценок параметра натяжения струны в КХД.

 

Еще одной областью, представляющей как самостоятельный интерес, так и являющейся инструментом для апробирования различных приближенных методов, является поиск точных решений различных квантовых и классических интегрируемых систем многих частиц. Эта область исследования в последнее время вызывает устойчивый интерес. Есть основания ожидать, что некоторые качественные особенности точных решений могут сохраниться в реальных случаях. Кроме того, эти решения могут использоваться в качестве классической составляющей при квантовании в окрестности таких решений. Поэтому задача отыскания точных решений как классических, так и квантовых интегрируемых конечномерных систем, представляется вполне актуальной.

Из полученных мной за последнее время результатов в этих областях я бы отметил следующие:

Впервые получено соотношение, позволяющее проверить согласованность значений глюонного и четырехкваркового конденсатов. В рамках метода правил сумм на основе аналитических свойств амплитуды рассеяния получены оценки таких параметров, как значения четырехкваркового и глюонного конденсатов, натяжения струны и массы конституентного кварка. Впервые получены решения статических уравнений для некоторых случаев рассеяния пи-мезонов на нуклонах, в том числе общие решения в терминах тэта-функций. На основе этих решений найдены оценки сверху и снизу для параметра натяжения струны, причем в качестве оценки снизу впервые получено значение в пределе "выключения" взаимодействия, то есть порожденное исключительно аналитическими свойствами амплитуды рассеяния. Проанализированы экспериментальные данные по протон-антипротон- взаимодействию, сделан вывод о наличии в рассматриваемой системе квазиядерного состояния с массой близкой к двум массам протона.

Найдены и исследованы точные решения систем Сазерленда-Калоджеро во внешнем поле в случае трех и четырех частиц. Впервые доказана полная интегрируемость квантовой системы Сазерленда-Калоджеро во внешнем поле. Построено суперсимметричное обобщение системы Сазерденда-Калоджеро во внешнем поле.