Алексей Петрович Исаев

Считается общепризнанным, что для описания физики элементарных частиц следует использовать хорошо разработанный, в рамках теории возмущений, аппарат квантовой теории поля. Теория квантованных полей создавалась в основном в процессе построения квантовой электродинамики - полевой теории, описывающей электромагнитные взаимодействия и обладающей т.н. абелевой калибровочной симметрией. Современные полевые модели, объединяющие слабые, электромагнитные и сильные взаимодействия элементарных частиц, основываются на фундаментальном принципе неабелевой калибровочной инвариантности, которая обобщает абелеву симметрию. Соответствующие квантово-полевые модели, включая калибровочные модели со спонтанным нарушением симметрии (механизм Хиггса), достаточно хорошо изучены. Подчеркнем, что именно неабелева калибровочная симметрия ответственна за перенормируемость этих моделей (в случае моделей со спонтанным нарушением симметрии перенормируемость была доказана Г.'т Хоофтом, Нобелевская премия по физике за 1999 год), а в теории сильных взаимодействий (модель квантовой хромодинамики) приводит к асимптотической свободе кварков и глюонов (Д.Гросс, Ф.Вильчек и Д.Политцер, Нобелевская премия по физике за 2004 год).

С экспериментальной точки зрения, калибровочная симметрия проявляется в существовании элементарных частиц со спином 1 (калибровочных векторных бозонов -- переносчиков соответствующих взаимодействий) - фотона, в случае абелевой электродинамики и W^± и Z бозонов (открыты в 1983 году, Нобелевская премия по физике за 1984 год) в случае неабелевой теории слабых взаимодействий.

Почти одновременно с началом бурного развития теорий неабелевых калибровочных полей был открыт качественно новый тип симметрии (суперсимметрия), преобразования которой "перемешивают" бозонные и фермионные степени свободы. В настоящее время считается, что именно суперсимметрия управляет "супер-объединением" всех существующих в природе взаимодействий (слабых, электромагнитных, сильных и гравитационных), т.к. только в рамках суперсимметричных полевых моделей удается построить самосогласованные перенормируемые квантово-полевые теории, включающие теорию гравитации. Замечательно, что такие полевые модели, во-первых, предсказывают 10-мерность нашего пространства-времени (наш повседневный опыт говорит нам о том, что наше пространство-время - 4-х мерно, остальные 6 измерений свернуты в столь маленькие пространства, что могут наблюдаться только при очень высоких энергиях), а, во-вторых, эти модели возникают как специальные пределы более фундаментальных моделей фермионных струн и суперструн (а возможно и супер-мембран), обладающих еще более высокой степенью симметрии, связанной с бесконечномерными супералгебрами и супергруппами Ли.

Суперсимметрия, это новый тип симметрии, который в природе еще не обнаружен. С точки зрения эксперимента, суперсимметрия может проявиться в том, что у каждой известной нам элементарной частицы будет наблюдаться партнер, причем, как правило, не один. Например, у электрона должно быть два партнера, с таким же электрическим зарядом, но с более тяжелыми массами и другими спинами. Все остальные свойства будут такими же как у электрона, и т.д. В ближайшем будущем, на LHC (Большой адронный коллайдер) в CERN-е (Европейский центр ядерных исследований) планируются эксперименты по поиску возможных проявлений суперсимметрии.

Т.о., в современной физике элементарных частиц симметрия и инвариантность играет основополагающую роль, которая, например, сводится к ограничению числа приемлемых теорий, претендующих на описание реальных физических явлений.

Сравнительно недавно, при изучении интегрируемых квантовых систем, теорий струн, суперсимметричных обобщений неабелевых калибровочных теорий поля и при исследовании других моделей, были открыты принципиально новые симметрии, которые получили название "квантовых симметрий". Эти симметрии связаны с новыми алгебраическими структурами, которые называются "квантовыми группами". Квантовые группы и алгебры можно рассматривать как квантование (или деформацию), обычных групп и алгебр Ли (математически более корректно говорить о квантовании алгебры функций на группе Ли и квантовании универсальной обертывающей алгебры Ли). Данное квантование сопровождается введением дополнительного параметра q (параметра деформации), который играет роль, аналогичную роли постоянной Планка в квантовой механике. При q→1 квантовые группы и алгебры переходят в стандартные группы и алгебры Ли, а квантовые симметрии - в обычные симметрии.

Были найдены примеры статистических и динамических систем с гамильтонианами, инвариантными относительно специального действия квантовых групп. Более того, квантовые симметрии приводят к наличию у этих систем большого числа нетривиальных законов сохранения. Эти открытия вызвали большой интерес, так как стало очевидным, что квантовые группы определяют принципиально новый класс симметрий - квантовых симметрий, обобщающих обычные симметрии и суперсимметрии, связанные с супералгебрами и супергруппами Ли.

Замечательно, что, если калибровочная инвариантность и суперсимметрия ответственны за перенормируемость (или даже конечность) и самосогласованность соответствующих квантовополевых моделей, то квантовые симметрии приводят к их интегрируемости и точной решаемости, что позволяет исследовать такие модели вне рамок теории возмущений.

Оказывается, что исследование квантовых симметрий требует более глубокого понимания геометрии квантовых групп и, в частности, предполагает детальную разработку некоммутативной дифференциальной геометрии квантовых групп. Такие исследования проводятся в рамках бурно развивающегося направления в математике, которое называется некоммутативная геометрия. Об окончательном создании такой геометрии говорить пока рано, хотя достаточно общая программа ее построения существует и была сравнительно недавно сформулирована известным французским математиком Аланом Конном.

Тем не менее предпринимаются многочисленные попытки связать существующие теоретико-полевые модели (такие, например, как модель Салама-Вайнберга или Стандартная Модель) с некоммутативной геометрией и, в частности, исследовать их возможную инвариантность относительно квантово-групповых преобразований. При этом весьма привлекательной кажется идея о связи параметров деформации квантовых групп с углами смешивания, присутствующими в Стандартной Модели в качестве свободных параметров.

Следует упомянуть также исследования по некоммутативным деформациям групп Лоренца и Пуанкаре, которые приводят к построению квантовых версий пространства-времени Минковского. Отметим, что теории (супер)струн также предсказывают некоммутативность нашего пространства-времени и приводят к необходимости исследования теорий поля на таких некоммутативных пространствах. Интересно, что подобные новейшие исследования созвучны с довольно старыми идеями о существенном изменении структуры пространства-времени при сверх-высоких энергиях или, что тоже самое, на малых масштабах, порядка планковской длинны (1.6·10^-33 см.). Такие энергии, а соответственно и столь малые структуры, по-видимому, могли реализовываться только на ранних стадиях развития Вселенной.